FUNCIONES

Funciones Matemáticas: Teoría y Conceptos Fundamentales

Una función matemática es una relación entre dos conjuntos de números o elementos donde a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde exactamente un único elemento del segundo conjunto (codominio). Las funciones se utilizan para modelar situaciones donde existe una relación de dependencia entre dos variables.

1. Definición de Función

Se define una función $f: A \to B$ como una regla que asigna a cada elemento $x \in A$ exactamente un elemento $y \in B$. Se denota como:

$$f(x) = y$$

donde:

• $x$ es la variable independiente.
• $y$ es la variable dependiente o valor de la función.

2. Notación de Funciones

La notación más común para representar funciones es $f(x)$, que se lee como “$f$ de $x$”. Otros símbolos para funciones son $g(x)$, $h(x)$, etc.

Ejemplo:

$$f(x) = 2x + 3$$

Si $x = 1$, entonces:

$$f(1) = 2(1) + 3 = 5$$

3. Dominios y Codominios

• Dominio: Es el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable independiente $x$.
• Codominio: Es el conjunto de todos los posibles valores de salida de la función (valores de $y$).

4. Tipos de Funciones

a) Funciones Lineales

Una función lineal es de la forma:

$$f(x) = mx + b$$

donde:

• $m$ es la pendiente, que indica la inclinación de la recta.
• $b$ es la ordenada al origen (intersección con el eje $y$).

Ejemplo:

$$f(x) = 2x + 1$$

La gráfica de esta función es una recta.

b) Funciones Cuadráticas

Una función cuadrática es de la forma:

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

donde $a \neq 0$. Su gráfica es una parábola.

Ejemplo:

$$f(x) = x^2 - 4x + 3$$

c) Funciones Polinomiales

Una función polinómica tiene la forma:

$$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$$

Ejemplo:

$$f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 4x - 5$$

d) Funciones Racionales

Una función racional es una fracción donde tanto el numerador como el denominador son polinomios:

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$$

donde $Q(x) \neq 0$.

Ejemplo:

$$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$$

e) Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas relacionan ángulos con longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Las principales son:

• $\sin(x)$: seno
• $\cos(x)$: coseno
• $\tan(x)$: tangente

Ejemplo:

$$f(x) = \sin(x)$$

f) Funciones Exponenciales

Una función exponencial tiene la forma:

$$f(x) = a^x$$

donde $a > 0$ y $a \neq 1$.

Ejemplo:

$$f(x) = 2^x$$

g) Funciones Logarítmicas

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial y se expresa como:

$$f(x) = \log_a(x)$$

donde $a > 0$ y $a \neq 1$.

Ejemplo:

$$f(x) = \log_2(x)$$

5. Propiedades de las Funciones

Las funciones tienen varias propiedades importantes:

• Inyectividad: Una función es inyectiva si a cada valor de salida le corresponde un único valor de entrada.
• Sobreyectividad: Una función es sobreyectiva si cada elemento del codominio tiene al menos un valor correspondiente en el dominio.
• Biyectividad: Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

6. Transformaciones de Funciones

Las funciones pueden sufrir transformaciones que cambian su forma:

• Traslaciones: Desplazan la gráfica de la función hacia arriba, abajo, izquierda o derecha.
• Reflexiones: Reflejan la función sobre un eje, como el eje $x$ o el eje $y$.
• Escalado: Estira o comprime la gráfica de la función vertical u horizontalmente.

Ejemplo de traslación: Si $f(x) = x^2$, la función $g(x) = x^2 + 3$ es una traslación hacia arriba en 3 unidades.

7. Composición de Funciones

La composición de funciones consiste en aplicar una función a los resultados de otra. Se denota como $(f \circ g)(x) = f(g(x))$.

Ejemplo: Si $f(x) = 2x$ y $g(x) = x + 3$, entonces:

$$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6$$

8. Funciones Inversas

La función inversa de una función $f(x)$ deshace el efecto de $f$. Se denota como $f^{-1}(x)$. Para que una función tenga inversa, debe ser biyectiva.

Ejemplo: Si $f(x) = 2x + 3$, su inversa es:

$$f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$$

9. Gráficas de Funciones

Las funciones se pueden representar visualmente en un sistema de coordenadas. Las gráficas ayudan a comprender el comportamiento de las funciones, incluyendo:

• El punto de intersección con los ejes.
• El crecimiento o decrecimiento.
• Los máximos y mínimos locales.

10. Aplicaciones de las Funciones

Las funciones son fundamentales en muchas disciplinas:

• En física, para modelar relaciones entre magnitudes físicas como velocidad, tiempo y distancia.
• En economía, para representar el costo, ingreso y beneficio en función de la cantidad de productos.
• En informática, para escribir algoritmos y manejar datos.